Co to jest NWD
Dzielnik liczby to liczba, przez którą ona dzieli się bez reszty. Dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12, a dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Wspólne są 1, 2, 3 i 6. Największy z nich to NWD, czyli największy wspólny dzielnik:
Co to jest NWW
Wielokrotność liczby to ta liczba pomnożona przez 1, 2, 3 i tak dalej. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16…, a wielokrotności 6 to 6, 12, 18… Najmniejsza wspólna to NWW, czyli najmniejsza wspólna wielokrotność:
Wypisywanie dzielników i wielokrotności dobrze działa dla małych liczb. Przy większych szybciej jest rozłożyć liczby na czynniki pierwsze.
Jak obliczyć NWD i NWW z rozkładu na czynniki
Każdą liczbę dzielisz przez najmniejsze liczby pierwsze (2, 3, 5, 7…), dopóki się da. Dla 24 i 36:
NWD: czynniki wspólne
Mnożysz czynniki, które występują w obu rozkładach. Wspólne są dwie dwójki i jedna trójka:
NWW: czynniki większej liczby i brakujące
Bierzesz wszystkie czynniki większej liczby i dopisujesz te, których jej brakuje z mniejszej. W 36 są dwie dwójki, a w 24 trzy, więc dopisujesz jedną dwójkę:
Wynik łatwo sprawdzić. Dla dwóch liczb zawsze zachodzi:
dla dwóch liczb naturalnych a i b
Tu 12 · 72 = 864 = 24 · 36, więc łatwo sprawdzić wynik.
Dwa przypadki szczególne
Gdy jedna liczba dzieli się przez drugą, mniejsza jest ich NWD, a większa ich NWW: NWD(4, 12) = 4, NWW(4, 12) = 12. Gdy liczby nie mają wspólnych czynników, jak 7 i 9, ich NWD to 1, a NWW to iloczyn: 63. Takie liczby nazywamy względnie pierwszymi.
Algorytm Euklidesa
Przy dużych liczbach rozkład na czynniki jest żmudny. NWD szybciej znajdziesz algorytmem Euklidesa. Dzielisz większą liczbę przez mniejszą z resztą, potem liczbę, przez którą dzieliłeś, dzielisz przez resztę i tak dalej, aż reszta wyjdzie 0. NWD to ostatnia liczba, przez którą dzieliłeś:
Reszta wyszła 0 przy dzieleniu przez 12, więc NWD(84, 36) = 12. NWW policzysz potem ze wzoru w ramce powyżej: NWW = a · b : NWD, czyli 84 · 36 : 12 = 252. Kalkulator sam używa tego algorytmu dla liczb większych od miliona.
NWD i NWW w ułamkach
NWD służy do skracania ułamków. Licznik i mianownik dzielisz przez ich NWD i od razu dostajesz najprostszą postać: 24/36 skracasz przez 12 do 2/3. Krok po kroku pokaże to kalkulator skracania ułamków.
NWW to najmniejszy wspólny mianownik. Przy dodawaniu, odejmowaniu i porównywaniu ułamków sprowadzasz je do mianownika równego NWW mianowników, na przykład dla 1/4 i 1/6 do 12.
NWD i NWW w zadaniach
Dwa autobusy odjeżdżają razem z przystanku. Pierwszy kursuje co 12 minut, drugi co 18. Kiedy znowu odjadą razem? Szukasz najmniejszej liczby podzielnej przez 12 i przez 18, czyli NWW(12, 18) = 36. Po 36 minutach.
Masz 24 jabłka i 36 gruszek. Chcesz zrobić jak najwięcej jednakowych paczek, bez resztek. Liczba paczek musi dzielić 24 i 36, więc to NWD(24, 36) = 12. W każdej paczce będą 2 jabłka i 3 gruszki.
Najczęstsze błędy
- Mylenie NWD z NWW. NWD jest mniejszy od liczb albo równy mniejszej z nich, NWW jest większa albo równa większej.
- Branie przy NWD wszystkich czynników zamiast wspólnych. Czynnik liczy się tyle razy, ile razy występuje w obu rozkładach.
- Mnożenie liczb zamiast szukania NWW. 4 · 6 = 24 to wspólna wielokrotność, ale najmniejsza jest 12.
- Pominięcie czynnika w rozkładzie. Sprawdź, czy iloczyn czynników daje z powrotem liczbę.
Przykłady do sprawdzenia
Kliknij przykład, a kalkulator wpisze liczby za Ciebie i pokaże całe rozwiązanie.
Najczęstsze pytania
Co to jest NWD?
NWD to największy wspólny dzielnik, czyli największa liczba, przez którą dzielą się bez reszty obie liczby. NWD(24, 36) = 12.
Co to jest NWW?
NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez obie liczby. NWW(24, 36) = 72.
Jak obliczyć NWD?
Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze i pomnóż czynniki wspólne. 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 36 = 2 · 2 · 3 · 3, wspólne są 2, 2 i 3, więc NWD = 12. Przy dużych liczbach wygodny jest algorytm Euklidesa.
Jak obliczyć NWW?
Weź wszystkie czynniki pierwsze większej liczby i dopisz te, których brakuje z mniejszej. Dla 24 i 36: czynniki 36 to 2, 2, 3, 3, brakuje jeszcze jednej 2 z liczby 24, więc NWW = 72.
Ile to jest NWW 15 i 20?
NWW(15, 20) = 60, a NWD(15, 20) = 5. 15 = 3 · 5, 20 = 2 · 2 · 5, więc do czynników 20 dopisujesz trójkę.
Na czym polega algorytm Euklidesa?
Dzielisz większą liczbę przez mniejszą z resztą, potem liczbę, przez którą dzieliłeś, dzielisz przez resztę i tak dalej, aż reszta wyjdzie 0. NWD to ostatnia liczba, przez którą dzieliłeś. Dla 84 i 36: 84 = 2 · 36 + 12, 36 = 3 · 12 + 0, więc NWD = 12.
Do czego przydają się NWD i NWW w ułamkach?
NWD służy do skracania ułamków: licznik i mianownik dzielisz przez ich NWD. NWW to najmniejszy wspólny mianownik przy dodawaniu, odejmowaniu i porównywaniu ułamków.