Co to jest proporcja
Proporcja to równość dwóch stosunków. Zapisuje się ją dwukropkiem albo kreską ułamkową:
W zapisie a : b = c : d liczby a i d to wyrazy skrajne, a b i c to wyrazy środkowe. W zapisie ułamkowym leżą one na dwóch przekątnych.
Jak obliczyć proporcję
Najważniejsza własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych. W zapisie ułamkowym mówi się po prostu, że mnożymy na krzyż:
gdzie b i d są różne od zera
- Zapisz proporcję, w miejscu szukanej liczby wpisz x.
- Pomnóż na krzyż: liczby z jednej przekątnej i liczby z drugiej.
- Podziel obie strony przez liczbę, która stoi przy x.
Mnożysz na krzyż: 3 · 20 = 4 · x, czyli 60 = 4 · x. Dzielisz przez 4 i wychodzi x = 15. Tak samo liczy kalkulator, a gdy wynik nie jest liczbą całkowitą, poda go jako ułamek i dziesiętnie (dokładnie albo w przybliżeniu).
Jak sprawdzić proporcję
Wystarczy pomnożyć na krzyż. Jeśli wyjdą równe iloczyny, proporcja jest prawdziwa: 3 · 20 = 60 i 4 · 15 = 60. Gdy wpiszesz do kalkulatora wszystkie cztery liczby, sprawdzi to za Ciebie.
Zadania z proporcją
Proporcją rozwiązuje się zadania z wielkościami wprost proporcjonalnymi, czyli takimi, które rosną tyle samo razy. Liczby układasz konsekwentnie: albo w obu ułamkach to samo nad tym samym (kilogramy nad złotymi), albo w jednym ułamku same kilogramy, a w drugim same złote.
3 kg jabłek kosztuje 12 zł. Ile kosztuje 5 kg? Kilogramy piszesz w licznikach, złote w mianownikach:
Mnożysz na krzyż: 3 · x = 12 · 5 = 60, więc x = 20. Pięć kilogramów kosztuje 20 zł.
Przepis na 4 osoby potrzebuje 300 g mąki. Ile mąki na 6 osób?
Wychodzi x = 300 · 6 : 4 = 450, czyli 450 g mąki.
Proporcja a procenty
Procent z liczby też policzysz proporcją. Cała liczba to 100%. Ile to 20% z 50?
Mnożysz na krzyż: 100 · x = 50 · 20 = 1000, więc x = 10. Więcej o procentach przeczytasz na stronie zamiana ułamków na procenty.
Proporcja odwrotna
Czasem jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy. Takie wielkości są odwrotnie proporcjonalne. Stały jest wtedy iloczyn, a nie iloraz.
Czterech robotników kończy pracę w 6 dni. Ile dni zajmie to trzem? Iloczyn robotników i dni się nie zmienia:
Lewa strona to 24, więc 3 · x = 24 i x = 8. Trzej robotnicy skończą w 8 dni. Tak samo jest z prędkością i czasem jazdy. Z prędkością 60 km/h jedziesz 3 godziny, a z prędkością 90 km/h: 60 · 3 = 90 · x, więc x = 2 godziny.
W kalkulatorze wybierz „Odwrotna”. W każdej parze wpisz dwie wielkości z jednej sytuacji, na przykład robotników i dni, a w miejscu szukanej liczby zostaw puste pole.
Podział liczby w danym stosunku
Podzielić liczbę w stosunku 2 : 3 to rozdzielić ją na dwie części tak, żeby na każde 2 równe kawałki pierwszej przypadały 3 takie same kawałki drugiej.
- Dodaj liczby ze stosunku. Tyle jest wszystkich równych części.
- Podziel liczbę przez tę sumę. Tyle wynosi jedna część.
- Pomnóż jedną część przez każdą liczbę ze stosunku.
Ola i Kuba mają podzielić 60 zł w stosunku 2 : 3. Wszystkich części jest 2 + 3 = 5, a jedna część to 60 : 5 = 12 zł. Ola dostaje 2 · 12 = 24 zł, Kuba 3 · 12 = 36 zł. Sprawdzenie: 24 + 36 = 60.
Stosunek może mieć więcej liczb. 120 w stosunku 1 : 2 : 3 to 20, 40 i 60, bo jedna część wynosi 120 : 6 = 20. W kalkulatorze wybierz „Podział w stosunku” i wpisz liczby ze stosunku oddzielone dwukropkiem.
Najczęstsze błędy
- Liczby ułożone niekonsekwentnie. Albo w obu ułamkach kilogramy nad złotymi, albo w jednym ułamku same kilogramy, a w drugim same złote.
- Mnożenie w poziomie zamiast na krzyż. W 3/4 = x/20 mnożysz 3 przez 20 oraz 4 przez x.
- Liczenie proporcją wielkości odwrotnie proporcjonalnych tak samo jak wprost proporcjonalnych. Trzech robotników nie skończy pracy szybciej niż czterech.
- Zero w mianowniku. Mianownik nie może być zerem, więc taka proporcja nie ma sensu.
Przykłady do sprawdzenia
Kliknij przykład, a kalkulator wybierze rodzaj zadania, wpisze liczby za Ciebie i pokaże całe rozwiązanie.
Inne narzędzia
Czy dwa ułamki są równe, sprawdzisz też w kalkulatorze porównywania ułamków. Ułamek skrócisz w kalkulatorze skracania ułamków, a działania z ułamkami policzysz w kalkulatorze ułamków.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć proporcję?
Zapisz proporcję jako dwa równe ułamki, na przykład 3/4 = x/20. Pomnóż na krzyż: 3 · 20 = 4 · x. Potem podziel przez liczbę stojącą przy x: x = 60 : 4 = 15.
Co to jest proporcja?
To równość dwóch stosunków, czyli dwóch ilorazów: a : b = c : d, co można też zapisać jako a/b = c/d. Na przykład 3 : 4 = 15 : 20.
Na czym polega mnożenie na krzyż?
W proporcji a/b = c/d iloczyn a · d jest równy iloczynowi b · c. Mnożysz liczby leżące na ukos, po przekątnych, i przyrównujesz wyniki. W szkole mówi się, że iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.
Jak sprawdzić, czy proporcja jest prawdziwa?
Pomnóż na krzyż. Jeśli oba iloczyny są równe, proporcja jest prawdziwa. 3/4 = 15/20, bo 3 · 20 = 60 i 4 · 15 = 60. Kalkulator sprawdzi to sam, gdy wpiszesz wszystkie cztery liczby.
Co to są wielkości wprost proporcjonalne?
To dwie wielkości, które rosną albo maleją tyle samo razy. Dwa razy więcej jabłek kosztuje dwa razy więcej. Iloraz takich wielkości jest stały, więc zadania z nimi rozwiązuje się proporcją.
Co to są wielkości odwrotnie proporcjonalne?
Gdy jedna rośnie, druga maleje tyle samo razy, na przykład liczba robotników i czas pracy. Stały jest wtedy iloczyn: 4 · 6 = 3 · x, więc x = 8. W kalkulatorze wybierz tryb „Odwrotna”.
Jak podzielić liczbę w danym stosunku?
Dodaj liczby ze stosunku, żeby wiedzieć, ile jest równych części. Podziel liczbę przez tę sumę, a wynik pomnóż przez każdą liczbę ze stosunku. 60 w stosunku 2 : 3: 2 + 3 = 5, 60 : 5 = 12, więc części to 24 i 36.
Jak obliczyć procent z liczby za pomocą proporcji?
Cała liczba to 100%. Dla 20% z 50 zapisz 100/50 = 20/x. Mnożysz na krzyż: 100 · x = 50 · 20, więc x = 10.