Skracanie i rozszerzanie ułamków

Na czym polega skracanie ułamków

Skracanie ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia, tylko liczby robią się mniejsze. Osiem dwunastych to tyle samo co dwie trzecie:

Ułamek jest w najprostszej postaci, gdy nie da się go już skrócić. Taki ułamek nazywa się nieskracalny.

Jak skrócić ułamek krok po kroku

Skracanie po trochu

Najprościej dzielić po kolei przez małe liczby, które dzielą licznik i mianownik: 2, 3, 5. Kończysz, gdy nic już nie pasuje:

Tu najpierw dzielisz dwa razy przez 2, a potem przez 3. Szybko sprawdzisz, przez co dzielić, dzięki cechom podzielności:

• przez 2 dzieli się liczba parzysta, czyli zakończona na 0, 2, 4, 6 lub 8;
• przez 3, gdy suma cyfr dzieli się przez 3 (dla 36: 3 + 6 = 9);
• przez 5, gdy ostatnia cyfra to 0 lub 5;
• przez 10, gdy ostatnia cyfra to 0.

Skracanie przez NWD

Szybciej jest skrócić od razu przez NWD, czyli największy wspólny dzielnik licznika i mianownika. Żeby go znaleźć, rozkładasz obie liczby na czynniki pierwsze i mnożysz czynniki wspólne dla obu liczb:

Wspólne są dwie dwójki i trójka, więc NWD(24, 36) = 2 · 2 · 3 = 12. Dzielisz licznik i mianownik przez 12:

Tak samo liczy kalkulator. Przy dużych liczbach NWD znajdziesz też algorytmem Euklidesa: dzielisz większą liczbę przez mniejszą i dalej dzielnik przez resztę, aż reszta wyjdzie 0. Ostatnia reszta różna od zera to NWD. Dla 84 i 36: 84 = 2 · 36 + 12, a 36 = 3 · 12, więc NWD to 12. Więcej o NWD przeczytasz w artykule NWW i NWD.

Ułamek nieskracalny

Gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, ich NWD to 1. Taki ułamek jest nieskracalny, na przykład 7/9, 5/8 albo 11/12. Kalkulator powie wtedy, że to już najprostsza postać.

Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe

W liczbie mieszanej całości zostają, a skracasz tylko ułamek. Ułamek niewłaściwy po skróceniu zamieniasz na liczbę mieszaną:

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie działa odwrotnie: licznik i mianownik mnożysz przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość znowu się nie zmienia:

Najczęściej rozszerzasz ułamek do konkretnego mianownika. Dzielisz nowy mianownik przez stary i przez wynik mnożysz licznik i mianownik. Dla 2/3 i mianownika 12: 12 : 3 = 4, więc:

W kalkulatorze wpisz to jako 2/3 = ?/12. Jeśli nowy mianownik nie dzieli się przez stary, rozszerzyć się nie da. Wyjątek: gdy da się najpierw skrócić ułamek, kalkulator to zrobi, jak w 6/8 = ?/12. Zapis 2/3 = ?/12 to proporcja, więc brakujący licznik obliczy też kalkulator proporcji. Rozszerzanie przydaje się przy szukaniu wspólnego mianownika w dodawaniu i odejmowaniu ułamków.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie tylko licznika albo tylko mianownika. Wtedy zmienia się wartość ułamka.
• Odejmowanie zamiast dzielenia. Z 3/5 nie zrobisz 2/4, odejmując po 1. To inne liczby.
• Skreślanie takich samych cyfr. W 12/24 nie wolno skreślić dwójek: wynik to 1/2, a nie 1/4.
• Kończenie za wcześnie. 24/36 skrócone do 12/18 nadal da się skrócić. Najprostsza postać to 2/3.

Przykłady do sprawdzenia

Kliknij przykład, a kalkulator wpisze go za Ciebie i pokaże całe rozwiązanie.

• 8/12 = 2/3 Rozwiąż
• 15/25 = 3/5 Rozwiąż
• 24/36 = 2/3 Rozwiąż
• 3/4 = ?/20 = 15/20 Rozwiąż
• 18/12 = 1 1/2 Rozwiąż
• 2 6/8 = 2 3/4 Rozwiąż

Inne narzędzia

Skrócone wyniki działań dostaniesz w kalkulatorze ułamków. Ułamek na dziesiętny zamienisz w kalkulatorze zamiany ułamków na dziesiętne, a na procent w konwerterze ułamków i procentów. Które ułamki są równe, sprawdzisz w kalkulatorze porównywania ułamków. Dlaczego 1/2, 2/4 i 4/8 to ta sama liczba, widać na paskach w artykule ułamki zwykłe.