Co to jest potęga
Potęga to krótszy zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. W zapisie 2³ liczba 2 to podstawa, a 3 to wykładnik. Wykładnik mówi, ile razy podstawa jest czynnikiem:
Drugą potęgę czytamy „do kwadratu”, a trzecią „do sześcianu”. 5² to „pięć do kwadratu”, czyli 25.
Jak podnieść ułamek do potęgi
Do potęgi podnosisz osobno licznik i osobno mianownik. Każdy z nich jest tyle razy czynnikiem, ile mówi wykładnik:
n czynników w liczniku i n w mianowniku, b różne od zera
Dla 2/3 do potęgi trzeciej liczysz 2 · 2 · 2 = 8 w liczniku i 3 · 3 · 3 = 27 w mianowniku:
Jeśli ułamek da się skrócić, skróć go przed potęgowaniem. Liczby będą mniejsze, a wynik ten sam: (6/8)² = (3/4)² = 9/16.
Dlaczego nawias jest ważny
Zapis (3/4)² oznacza, że do kwadratu podnosisz cały ułamek, więc wychodzi 9/16. Gdy wykładnik stoi przy samym mianowniku, do kwadratu idzie tylko 4, czyli 3/16. Żeby nie było wątpliwości, kalkulator prosi o nawias wokół ułamka.
Liczby mieszane i ułamki dziesiętne
Liczbę mieszaną najpierw zamień na ułamek niewłaściwy, a dopiero potem podnieś do potęgi. Nie podnoś osobno całości i osobno ułamka, bo wynik wyjdzie za mały:
Ułamek dziesiętny możesz podnieść do potęgi od razu albo najpierw zamienić na zwykły. 0,2³ = 0,008, a 0,2 to 1/5, więc tak samo (1/5)³ = 1/125. Kalkulator zamienia ułamek dziesiętny na zwykły i pod wynikiem pokazuje też jego postać dziesiętną.
Ujemny wykładnik
Ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku. Oznacza odwrotność: odwracasz ułamek, a wykładnik zmieniasz na dodatni.
gdzie a i b są różne od zera
Tak samo (1/2)⁻³ = 2³ = 8. Więcej o odwracaniu ułamków przeczytasz na stronie odwrotność liczby.
Potęga zerowa i pierwsza
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi 0 daje 1, na przykład (3/4)⁰ = 1. Potęga o wykładniku 1 to ta sama liczba: (3/4)¹ = 3/4. Wyrażenie 0⁰ jest nieokreślone, więc kalkulator go nie policzy.
Ułamek ujemny w potędze
Liczba ujemna w potędze parzystej daje wynik dodatni, a w nieparzystej ujemny:
Uważaj na minus przed nawiasem. W zapisie −(2/3)² do kwadratu podnosisz tylko 2/3, a minus zostaje, więc wynik to −4/9.
Potęgi w dłuższym działaniu
Potęgi liczysz po nawiasach, ale przed mnożeniem i dzieleniem:
Całe takie działania policzysz w kalkulatorze ułamków, który też rozumie znak ^.
Najczęstsze błędy
- Podniesienie do potęgi tylko licznika. (2/3)² to 4/9, a nie 4/3.
- Mnożenie przez wykładnik zamiast potęgowania. 3² to 3 · 3 = 9, a nie 3 · 2 = 6.
- Ujemny wynik przy ujemnym wykładniku. 2⁻² to 1/4, a nie −4.
- Pominięty nawias. (3/4)² = 9/16, ale gdy do kwadratu idzie tylko mianownik, wychodzi 3/16.
- Potęgowanie liczby mieszanej po kawałku. (1 1/2)² to 2 1/4, a nie 1 1/4.
Przykłady do sprawdzenia
Kliknij przykład, a kalkulator wpisze go za Ciebie i pokaże całe rozwiązanie.
Inne działania na ułamkach
Potęgowanie to mnożenie, więc przyda się kalkulator mnożenia ułamków. Przy ujemnym wykładniku pomoże odwrotność liczby, a wynik skrócisz w kalkulatorze skracania ułamków. Osobno opisujemy też dzielenie ułamków.
Najczęstsze pytania
Jak podnieść ułamek do potęgi?
Do potęgi podnosisz osobno licznik i mianownik. (2/3)^3 = (2 · 2 · 2)/(3 · 3 · 3) = 8/27. Ułamek, który podnosisz do potęgi, zapisuj w nawiasie.
Ile to jest (1/2) do potęgi −3?
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność. Odwracasz 1/2 na 2 i zmieniasz wykładnik na dodatni: (1/2)^(−3) = 2^3 = 8.
Co oznacza ujemny wykładnik?
Że najpierw bierzesz odwrotność podstawy, a potem podnosisz ją do potęgi o tym samym wykładniku, ale dodatnim. (2/5)^(−2) = (5/2)^2 = 25/4 = 6 1/4. Wynik nie robi się przez to ujemny.
Ile to jest ułamek do potęgi 0?
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi 0 daje 1, więc (3/4)^0 = 1. Wyrażenie 0^0 jest nieokreślone.
Jak podnieść do potęgi liczbę mieszaną?
Zamień ją na ułamek niewłaściwy i dopiero wtedy podnieś do potęgi. (1 1/2)^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2 1/4. Nie podnoś osobno całości i osobno ułamka.
Jak wpisać potęgę w kalkulatorze?
Po podstawie wpisz znak ^ i wykładnik, na przykład (2/3)^3. Ujemny wykładnik weź w nawias: (1/2)^(−3). Ułamek podnoszony do potęgi zawsze zapisz w nawiasie.